Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，是上一點，且.

（1）求證：平面；

（2）是的中點，若二面角的平面角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）欲證平面，只需證明，，由底面易證，通過計算證明即可

（2）易證三條直線兩兩垂直，故以為坐標原點，建立空間直角坐標系，根據二面角的平面角的正切值為，求出，求出平面的一個法向量，則和平面的法向量的夾角的余弦的絕對值就是直線與平面所成角的正弦值.

證明：（1）

底面，∴.

因為，所以

過作，垂足為，則

過作，垂足為，則

四邊形是平行四邊形，

∵，，，

∴，，，，

∴，

即，

∵，∴平面.

解：（2）由（1）得平面.

∴是二面角的平面角.

∵底面，，

∴，則.

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，

∴，，.

設平面的法向量為，

則，∴，令，則，

∴，

∴直線與平面所成角的正弦值為

故答案為：.