Question

【題目】對于曲線：上原點之外的每一點，求證存在過的直線與橢圓相交于兩點、，使與均為等腰三角形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先說明，上的每一點都在的內部，從而，過的直線均與相交于兩點．事實上，的方程可變形為．

去掉原點有（原點顯然在橢圓內部），． ①

這表明，上的點在橢圓內部．

現取上的點（不同時為0）．過作直線 ②

代入橢圓方程得關于的二次方程

③

由①知，方程③恒有兩解，對應著直線與橢圓的交點、．為使為的中點，我們令．

從而，即 ④

且． ⑤

把①、⑤代入方程③，得

有．

又由于交點

滿足

⑥

最后一式為0是因為在上．而⑥式表明．

可見，對于上的點，存在過的直線，與相交于兩點、，使為直角三角形且為斜邊的中點．從而，與均為等腰三角形．