Question

【題目】設a為實數，函數f（x）=ex﹣x+a，x∈R．
（1）求f（x）在區間[﹣1，2]上的最值；
（2）求證：當a＞﹣1，且x＞0時， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ex﹣1，令f'（x）=0，則x=0，

x∈（﹣1，0），f'（x）＜0，f（x）為減函數，

x∈（0.2），f'（x）＞0，f（x）為增函數，

所以，f（x）min=f（0）=1+a；

又因為 ，

所以

（2）解：證明：令 ，

由（1）知，g'（x）≥g'（0）=1+a＞0，

所以g（x）在（0，+∞）單調遞增，

所以g（x）＞g（0）=0，

所以，當a＞﹣1，且x＞0時，

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最值即可；（2）令 ，根據函數的單調性求出g（x）＞g（0），證出結論即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．