Question

【題目】如圖，在正四棱錐中，底邊，側棱， 為側棱上的點.

（1）若平面，求二面角的余弦值的大��；

（2）若，側棱上是否存在一點，使得平面，若存在，求的值；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， .

【解析】試題分析：

（1）根據題意可建立空間直角坐標系，然后根據兩平面法向量夾角的余弦值求得二面角的余弦值．（2）先假設存在滿足題意的點使得平面，然后根據題意求得平面的法向量，由，可得，從而可得當時， 平面.

試題解析：

（1）如圖，連接，設交于，由題意知平面，又，故兩兩垂直．

以為坐標原點， 分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

∵， ，∴.

（1）由題意得， ， ，

∴， ，

∵平面，

∴平面的一個法向量，

又平面的一個法向量，

∴，

由圖形知二面角為銳角，

∴所求二面角的余弦值為.

（2）假設在棱上存在一點使得平面．在上取點，連接，

設平面的法向量為，

由題意得，

又點， ， ，

，

由，得，

令，則，

設，

則，

由平面，可得，

解得，

∴當時， 平面.