Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+1在x=﹣1與x=2處有極值．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[﹣2，3]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+2ax+b，

∵函數f（x）=x3+ax2+bx+1在x=﹣1與x=2處有極值，

∴﹣1，2是f′（x）=0的兩個實數根，

∴ ，解得 ．

∴f（x）=

（2）解：由（1）可得f′（x）=3x2﹣3x﹣6=3（x﹣2）（x+1）．

利用f′（x）=0，解得x=﹣1，2．

列出表格：

x	[﹣2，﹣1）	﹣1	（﹣1，2）	2	（2，3]
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：當x=﹣1時，函數f（x）取得極大值，f（﹣1）= ；當x=2時，函數f（x）取得極小值，f（2）=﹣9．又f（﹣2）=﹣1，f（3）=﹣ ．

可得：當x=﹣1時，函數f（x）取得最大值 ；當x=2時，函數f（x）取得最小值﹣9

【解析】（1）f′（x）=3x2+2ax+b，由于函數f（x）=x3+ax2+bx+1在x=﹣1與x=2處有極值，可知﹣1，2是f′（x）=0的兩個實數根，代入即可解出；（2）由（1）可得f′（x）=3x2﹣3x﹣6=3（x﹣2）（x+1）．利用f′（x）=0，解得x=﹣1，2．列出表格：即可得出極值與區間端點的函數值，經過比較即可得出最值．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．