【題目】設實數
，整數
， 
．
(1)證明：當
且
時， 
；
(2)數列
滿足
， 
，證明： 
.
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析; (1) 用數學歸納法證明即可；
(2) 先用數學歸納法證明
，從
著手，由
，將求證式進行等價轉化后即可解決，用相同的方式將
進行轉換，設法利用已證結論證明．
試題解析；
(Ⅰ) 證：用數學歸納法證明
（1）當
時， 
，原不等式成立
（2）假設
時，不等式
成立
當
時， 
所以
時，原不等式成立
綜合（1）（2）,知當
且
時，對一切整數
，不等式
均成立…
（Ⅱ）先用數學歸納法證明
。
（1）當
時由假設
知
成立。
（2）假設
時，不等式
成立
由
易知
當
時
由
得
由（Ⅰ）中的結論得
因此
，即
，所以當
時，不等式
也成立
綜合（1）（2）可得，對一切正整數
，不等式
均成立
再由
得
，即
綜上所述， 
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
： 
過橢圓
： 
(
)的短軸端點， 
， 
分別是圓
與橢圓
上任意兩點，且線段
長度的最大值為3．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過點
作圓
的一條切線交橢圓
于
， 
兩點，求
的面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】調查在
級風的海上航行中71名乘客的暈船情況，在男人中有12人暈船，25人不暈船，在女人中有10人暈船，24人不暈船
（1）作出性別與暈船關系的列聯表；
（2）根據此資料，能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為級風的海上航行中暈船與性別有關？
暈船 | 不暈船 | 總計 | |
男人 | |||
女人 | |||
總計 |
附：.
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中國傳統文化中很多內容體現了數學的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現了相互轉化、對稱統一的形式美、和諧美，給出定義：能夠將圓
的周長和面積同時平分的函數稱為這個圓的“優美函數”，給出下列命題：
①對于任意一個圓，其“優美函數“有無數個”；
②函數
可以是某個圓的“優美函數”；
③正弦函數
可以同時是無數個圓的“優美函數”；
④函數
是“優美函數”的充要條件為函數的圖象是中心對稱圖形．
其中正確的命題是：（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距為2,離心率
為
.
(Ⅰ)求橢圓
的標準方程;
(Ⅱ)過點
作圓
的切線,切點分別為
,直線
與
軸交于點
,過點
作直線
交橢圓
于
兩點,點
關于
軸的對稱點為
,求
面積的最大值.
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