Question

【題目】如圖，三棱柱中，各棱長均相等， ， ， 分別為棱， ， 的中點．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）若三棱柱為直棱柱，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件，借助運用線面平行的判定定理分析推證；（2）依據題設條件運用線面角的定義構造三角形進行求解或建立空間直角坐標系，運用空間向量的數量積公式探求：

（Ⅰ）證明：在三棱柱中， ，且，

連結，在中，因為， 分別為棱， 的中點，所以， ．

又為的中點，可得，所以， ，

因此四邊形為平行四邊形，所以，

又平面， 平面，

所以平面．

（Ⅱ）證明：由于底面是正三角形， 為的中點，

所以，

又，又，所以平面．

在平面內，過點作，交直線于，連結，

平面，由此得， 為直線與平面所成的角．

設三棱柱的棱長為，可得，由，所以，

在中， ，

所以直線與平面所成角的正弦值為．