Question

【題目】已知拋物線的焦點為，過點的直線與相交于兩點，點關于軸的對稱點為.

（Ⅰ）證明：點在直線上；

（Ⅱ）設，求的內切圓的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；

(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先根據拋物線方程求得焦點坐標，設出過點的直線方程代入拋物線方程消去，設與 的交點， ，根據韋達定理求得和的表達式，進而根據點求得點的坐標，進而表示出直線的直線方程，求出直線在軸上的截距進而原式得證；（Ⅱ）首先表示出結果為求得，進而求得的值，推知的斜率，則方程可知，設，利用點到直線的距離進而求得和圓的半徑，則圓的方程可得．

試題解析：（Ⅰ）設， ， ，

的方程為.

將代入得到：

由韋達定理知道：

所以直線BD 的方程為： ，

即

令得到： =1

所以點F（1,0）在直線BD上

（Ⅱ）由①知，

因為 ，

故， 解得

所以的方程為

又由①知 ，故直線BD的斜率，

因而直線BD的方程為

因為KF為的平分線，故可設圓心，

到及BD的距離分別為.

由得，或（舍去），

故圓M的半徑.

所以圓M的方程為.