Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點分別為，，，M是橢圓E上的一個動點，且的面積的最大值為.

（1）求橢圓E的標準方程，

（2）若，，四邊形ABCD內接于橢圓E，，記直線AD，BC的斜率分別為，，求證:為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）設橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當M為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值，求出，即可得答案；

（2）根據題意可知，，因為，所以可設直線CD的方程為，將直線代入曲線的方程，利用韋達定理得到的關系，再代入斜率公式可證得為定值.

（1）設橢圓E的半焦距為c，由題意可知，

當M為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值.

所以，所以，，

故橢圓E的標準方程為.

（2）根據題意可知，，因為，

所以可設直線CD的方程為.

由，消去y可得，

所以，即.

直線AD的斜率，

直線BC的斜率，

所以

，故為定值.