Question

【題目】已知圓心為的圓過點，且與直線相切于點。

（1）求圓的方程；

（2）已知點，且對于圓上任一點，線段上存在異于點的一點，使得（為常數），試判斷使的面積等于4的點有幾個，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）使的面積等于4的點有2個

【解析】

（1）利用條件設圓的標準方程，由圓過點求t，確定圓方程.

（2）設，由確定阿波羅尼斯圓方程，與圓C為同一圓，可得，求出N點的坐標，建立ON方程，,再利用面積求點P到直線的距離，

判斷與ON平行且距離為的兩條直線與圓C的位置關系可得結論.

（1）依題意可設圓心坐標為，則半徑為，

圓的方程可寫成，

因為圓過點，∴，∴，

則圓的方程為。

（2）由題知，直線的方程為，設滿足題意，

設，則，所以，

則，

因為上式對任意恒成立，所以，且，

解得或（舍去，與重合）。

所以點，則，直線方程為，

點到直線的距離，

若存在點使的面積等于4，則，

∴。

①當點在直線的上方時，點到直線的距離的取值范圍為，

∵，

∴當點在直線的上方時，使的面積等于4的點有2個；

②當點在直線的下方時，點到直線的距離的取值范圍為，

∵，

∴當點在直線的下方時，使的面積等于4的點有0個，

綜上可知，使的面積等于4的點有2個。