Question

【題目】已知函數f（x）=ax+ 的圖象經過點A（1，1），B（2，﹣1）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性并用定義證明；
（3）求f（x）在區間[ ，1]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的圖象過A（1，1）、B（2，﹣1），

∴ ，解得 ，

∴

（2）證明：設任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）=（﹣x1+ ）﹣（﹣x2+ ）

=（x2﹣x1）+ =

由x1，x2∈（0，+∞）得，x1x2＞0，x1x2+2＞0．

由x1＜x2得，x2﹣x1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴函數 在（0，+∞）上為減函數

（3）解：由（2）知，函數 在[ ，1]上為減函數，

∴f（x）min=f（1）=1， ，

∴f（x）的值域是

【解析】（1）將點A、B的坐標代入解析式列出方程，求出a、b的值，即可求出f（x）；（2）利用定義法證明函數單調性步驟：取值、作差、變形、定號、下結論進行證明；（3）由（2）判斷f（x）在[ ，1]上的單調性，由單調性求出最值，即可得到f（x）的值域．