Question

【題目】已知函數，.

（1）設函數，試討論函數零點的個數；

（2）若，，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先證明時，此時無零點；當，分兩種情況討論 的范圍，分別利用導數研究函數的單調性，結合函數圖象可得函數零點的個數；（2）要證明，要證，，只需證明要證，，只需證明,利用導數研究函數 的單調性，可證明的最小值大于零，從而可得結果.

試題解析：（1）函數F（x）的定義域為．當時，，所以．即F（x）在區間上沒有零點．當時，，令 ．

只要討論h（x）的零點即可．當時，，h（x）是減函數；當時，，h（x）是增函數．所以h（x）在區間最小值為．

顯然，當時，,所以是的唯一的零點；當時，，所以F（x）沒有零點；當時，，所以F（x）有兩個零點．

（2）若，，要證，即要證，

下證要證，，

設

，令

，在上單調遞減，在上單調遞增.

在上只有一個零點 ，

，在上單調遞減，在上單調遞增.

= ，又 ，

，即證.