Question

【題目】已知函數 ，g（x）=x2eax（a＜0）． （Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若對任意x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為R， ． 當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	（﹣1，1）	（1，+∞）
f'（x）	﹣	+	﹣
f（x）	↘	↗	↘

所以，函數f（x）的單調遞增區間是（﹣1，1），
單調遞減區間是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．
（Ⅱ）依題意，“對于任意x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”
等價于“對于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”．
由（Ⅰ）知，函數f（x）在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，
因為f（0）=1， ，所以函數f（x）的最小值為f（0）=1．
所以應滿足g（x）max≤1．
因為g（x）=x2eax ， 所以g'（x）=（ax2+2x）eax ．
因為a＜0，令g'（x）=0得，x1=0， ．
（ⅰ）當 ，即﹣1≤a＜0時，
在[0，2]上g'（x）≥0，所以函數g（x）在[0，2]上單調遞增，
所以函數 ．
由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．
（ⅱ）當 ，即a＜﹣1時，
在 上g'（x）≥0，在 上g'（x）＜0，
所以函數g（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減，
所以 ．
由 得， ，所以a＜﹣1．
綜上所述，a的取值范圍是（﹣∞，﹣ln2]
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）問題等價于“對于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”，根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．