Question

已知函數f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0＜φ＜π，ω＞0)為偶函數，且函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）當x∈[

π

6

，

5

6

π]時，求f（x）的取值范圍；
（2）將函數y=f（x）的圖象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）為偶函數，由f（-x）=f（x），利用兩角和的正弦可得cos（φ-

π

6

）=0，從而結合題意可求得φ，由其周期可求得ω，從而得到解析式，利用正弦函數的性質可求得x∈[

π

6

，

5π

6

]時，f（x）的取值范圍；
（2）由三角函數的圖象變換可求得函數g（x）的解析式，利用余弦函數的性質可求得g（x）的單調減區間．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

），
∵f（x）為偶函數，
∴對x∈R，f（-x）=f（x）恒成立
∴sin（-ωx+φ-

π

6

）=sin（ωx+φ-

π

6

），
即-sinωxcos（φ-

π

6

）+cosωxsin（φ-

π

6

）=sinωxcos（φ-

π

6

）+cosωxsin（φ-

π

6

），
∴sinωxcos（φ-

π

6

）=0，
∵ω＞0且x∈R
∴cos（φ-

π

6

）=0，
又∵0＜φ＜π，
∴φ-

π

6

=

π

2

，
∴f（x）=2sin（ωx+φ+

π

2

）=2cosωx，
依題意

2π

ω

=2•

π

2

=π，
∴ω=2．
∴f（x）=2cos2x…（4分）
∵x∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴2x∈[

π

3

，

5π

3

]，
∴cos2x∈[-1，

1

2

]，
∴f（x）∈[-2，1]…（7分）
（2）依題意g（x）=f（

x

4

-

π

6

）=2cos[2（

x

4

-

π

6

）]=2cos（

x

2

-

π

3

），
由2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z）得：4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

（k∈Z）
∴g（x）的單調減區間為[4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

]（k∈Z）…（13分）

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查兩角和的正弦，求φ是關鍵，也是難點，屬于難題．