Question

【題目】如圖,在正△ABC中,點D,E分別在邊AC, AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于點F.

（Ⅰ）求證:A,E,F,D四點共圓;

（Ⅱ）若正△ABC的邊長為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

Answer 1

【答案】(1)證明過程詳見解析；（2）.

【解析】試題本題以正三角形為幾何背景，考查四點共圓問題以及相似三角形問題，考查學生的轉化與化歸的能力.第一問，利用已知條件中邊的比例關系可得出結論，再利用三角形相似，得出，所以，所以可證四點共圓；第二問，根據所給正三角形的邊長為2，利用已知的比例關系，得出各個小邊的長度，從而得出為正三角形，所以得出，所以是所在圓的圓心，而是半徑，即為.

試題解析：(Ⅰ)證明:∵, ∴,

∵在正中,, ∴,

又∵,, ∴, ∴,

即,所以四點共圓. 5分

(Ⅱ)解:如圖,

取的中點,連接,則,

∵, ∴,

∵,, ∴為正三角形,

∴,即,

所以點是外接圓的圓心,且圓的半徑為.

由于四點共圓,即四點共圓,其半徑為. 10分