Question

過拋物線y²=8x的焦點作傾斜角45°的直線，則被拋物線截得的弦長為（　�。�

• A、8
• B、16
• C、32
• D、64

Answer 1

分析：求出拋物線的焦點為F（2，0），直線的斜率k=tan45°=1，從而得到直線的方程為y=x-2．直線方程與拋物線方程聯解消去y得x²-12x+4=0，利用根與系數的關系可得x₁+x₂=12，再根據拋物線的定義加以計算，即可得到直線被拋物線截得的弦長．

解答：解：∵拋物線方程為y²=8x，2p=8，

p

2

=2，∴拋物線的焦點是F（2，0）．
∵直線的傾斜角為45°，∴直線斜率為k=tan45°=1
可得直線方程為：y=1×（x-2），即y=x-2．
設直線交拋物線于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯解

y=x-2 y2=8x

，消去y得x²-12x+4=0，
∴x₁+x₂=12，
根據拋物線的定義，可得|AF|=x₁+

p

2

=x₁+2，|BF|=x₂+

p

2

=x₂+2，
∴|AB|=x₁+x₂+4=12+4=16，即直線被拋物線截得的弦長為16．
故選：B

點評：本題給出經過拋物線的焦點的直線傾斜角為45°，求直線被拋物線截得的弦長．著重考查了拋物線的定義與標準方程、一元二次方程根與系數的關系、直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．