Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數．（參考數據： ）

（1）討論函數的單調性；

（2）若時，函數有三個零點，分別記為，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先求函數導數,根據參數a討論：當時， 是常數函數，沒有單調性．當時，先減后增；當時，先增后減；（2）先化簡方程，整體設元轉化為一元二次方程： ．其中，再利用導數研究函數的圖像，根據圖像確定根的取值范圍，進而可證不等式.

試題解析：解：（1）因為的定義域為實數，

所以．

①當時， 是常數函數，沒有單調性．

②當時，由，得；由，得．

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

③當時，由得， ； 由，得，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）因為，

所以，即．

令，則有，即．

設方程的根為，則，

所以是方程的根．

由（1）知在單調遞增，在上單調遞減．

且當時， ，當時， ，

如圖，依據題意，不妨取，所以，

因為，

易知，要證，即證．

所以，又函數在上單調遞增，

所以，所以．