Question

【題目】已知函數f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）﹣g（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）﹣g（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），若要式子有意義，

則 ，即﹣1＜x＜1．所以所求定義域為{x|﹣1＜x＜1}．

設F（x）=f（x）﹣g（x），

則F（﹣x）=f（﹣x）﹣g（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣log（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣F（x），

所以f（x）﹣g（x）是奇函數

（2）解：f（x）﹣g（x）＞0，即 loga（x+1）﹣loga（1﹣x）＞0，loga（x+1）＞loga（1﹣x）．

當0＜a＜1時，上述不等式等價于 ，解得﹣1＜x＜0；

當a＞1時，原不等式等價于 ，解得0＜x＜1．

綜上所述，當0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|﹣1＜x＜0}；

當a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}

【解析】（1）首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，定義域為{x|﹣1＜x＜1}關于原點對稱；利用定義法．
設F（x）=f（x）﹣g（x），判斷F（﹣x）=﹣F（x），得出結論；（2）利用函數的奇偶性整理不等式為loga（x+1）＞loga（1﹣x），對底數a分類討論得出x的范圍，．