Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（I）當時，求證平面

（II）當二面角的大小為時，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；(Ⅱ) ．

【解析】

（Ⅰ）在平行四邊形中，

由，，，

易知，

又平面，所以平面,∴，

在直角三角形中，易得，

在直角三角形中，，，又，∴，

可得

.

∴，

又∵，∴平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，

可知為二面角的平面角，

，此時為的中點.

過作,連結,則平面平面,

作,則平面,連結,

可得為直線與平面所成的角．

因為,,

所以.

在中，，

直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：依題意易知，平面ACD．以A為坐標原點，AC、AD、SA分別為軸建立空間直角坐標系，則易得，

（Ⅰ）由有，

易得，從而平面．

(Ⅱ)由平面，二面角的平面角.

又，則為的中點，

即,

設平面的法向量為

則，令,得，

從而，

直線與平面所成角的正弦值為.