Question

【題目】定義：在平面內，點到曲線上的點的距離的最小值稱為點到曲線的距離，在平面直角坐標系中，已知圓：及點，動點到圓的距離與到點的距離相等，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過原點的直線（不與坐標軸重合）與曲線交于不同的兩點，點在曲線上，且，直線與軸交于點，設直線的斜率分別為，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由點到曲線的距離的定義可知，到圓的距離，所以，所以有，由橢圓定義可得點的軌跡為以、為焦點的橢圓，從而可求出橢圓的方程；（Ⅱ）設,則,則直線的斜率為，由可得直線的斜率是，記，設直線的方程為，與橢圓方程聯立，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理用表示與即可得到結論.

試題解析： （Ⅰ）由分析知：點在圓內且不為圓心，故,

所以點的軌跡為以、為焦點的橢圓，

設橢圓方程為，則，

所以，故曲線的方程為

（Ⅱ）設,則,則直線的斜率為，又，所以直線的斜率是，記，設直線的方程為，由題意知，由得：.∴，

∴，由題意知，，

所以，

所以直線的方程為，令，得，即.

可得.

所以，即

（其他方法相應給分）