Question

【題目】已知橢圓C：的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為．

求橢圓C的方程；

如圖所示，該橢圓C的左、右焦點，作兩條平行的直線分別交橢圓于A，B，C，D四個點，試求平行四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)；(2) 最大值為．

【解析】

由題意離心率可得，再結合面積求解a，b的值，則橢圓方程可求；

由知，，且直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為，聯立直線方程與橢圓方程，把平行四邊形ABCD的面積用三角形OAB的面積表示，然后利用換元法結合單調性求最值．

解：由題意，，則，即．

又，，．

橢圓C的方程為；

由知，，且直線AB的斜率不為0，

設直線AB的方程為，，，

聯立，消去x得：．

得，．

四邊形是平行四邊形，根據對稱性可知和關于點對稱，

．

令，則，

．

，且函數在上單調遞增，

當，即時，平行四邊形ABCD面積的最大值為．