Question

【題目】在平面直角坐標系中， 的兩個頂點的坐標分別為，三個內角滿足.

（1）若頂點的軌跡為，求曲線的方程；

（2）若點為曲線上的一點，過點作曲線的切線交圓于不同的兩點（其中在的右側），求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）B點的軌跡方程為；（2）4.

【解析】試題分析：（1）利用正弦定理，將正弦化為邊，得出，化簡得，利用橢圓的定義得出B點的軌跡和軌跡方程；（2）設直線，聯立直線和橢圓方程，由，求得，由韋達定理求出的表達式，設點O到直線MN的距離為d，求得，由直線與圓相交時的弦長公式，求出，求出三角形OMN的面積，再分別求出三角形NAO和三角形MCO的面積和，利用基本不等式求出四邊形ACMN面積的最大值。

試題解析：（1）設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， 由正弦定理.∵，∴.

∵ ∴ 即.由橢圓定義知，B點軌跡是以C，A為焦點，長半軸長為2，半焦距為，短半軸長為，中心在原點的橢圓（除去左、右頂點）.

∴B點的軌跡方程為.

（2）易知直線的斜率存在，設，

，

，即，

因為,設點到直線的距離為，

則， ，

，

由，

，

，

，

.

而， ，易知， ，

， 時取到， .