Question

【題目】橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于兩點，當直線與軸平行時，直線被橢圓截得的線段長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在異于點的定點，使得直線變化時，總有？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定點滿足題意.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率是，直線被橢圓截得的線段長為列方程組求出，從而可得橢圓的標準方程；（2）設直線方程為，由得， ，根據韋達定理及斜率公式可得，令，可得符合題意.

試題解析：（1）∵，∴，

橢圓方程化為： ，由題意知，橢圓過點，

∴，解得，

所以橢圓的方程為： ；

（2）當直線斜率存在時，設直線方程： ，

由得， ，

設，

假設存在定點符合題意，∵，∴，

∴

，

∵上式對任意實數恒等于零，∴，即，∴，

當直線斜率不存在時， 兩點分別為橢圓的上下頂點，

顯然此時，綜上，存在定點滿足題意．