Question

已知函數．
（I）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）設數列{a_n}的通項a_n=1+．

Answer 1

【答案】分析：（I）由于已知函數的最大值是0，故可先求出函數的導數，研究其單調性，確定出函數的最大值，利用最大值小于等于0求出參數λ的取值范圍，即可求得其最小值；
（II）根據（I）的證明，可取λ=，由于x＞0時，f（x）＜0得出，考察發現，若取x=，則可得出，以此為依據，利用放縮法，即可得到結論
解答：解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）=，且f′（0）=0…3分
若λ＜，則當0＜x＜2（1-2λ）時，f′（x）＞0，所以當0＜x＜2（1-2λ）時，f（x）＞0，
若λ≥，則當x＞0時，f′（x）＜0，所以當x＞0時，f（x）＜0
綜上，λ的最小值為…6分
（ II）令λ=，由（I）知，當x＞0時，f（x）＜0，即
取x=，則…9分
于是a_2n-a_n+=++…++
=
=
=
=＞=ln2n-lnn=ln2
所以…12分
點評：本題考查了數列中證明不等式的方法及導數求最值的普通方法，解題的關鍵是充分利用已有的結論再結合放縮法，本題考查了推理判斷的能力及轉化化歸的思想，有一定的難度