Question

設函數．
(1)求f(x)的單調區間和極值;
(2)關于的方程f(x)=a在區間上有兩個根,求a的取值范圍．

Answer 1

(1) 當x=0時f(x)有極小值-1,當x=3時, f(x)有極大值．   (2) 或

解析試題分析：(1) 先對原函數求導，然后列表求出單調區間和極值即可; (2) 關于的方程f(x)=a在區間上有三個根,即函數y=a與y=f（x）的圖象在區間上有三個交點，只需要函數y=" f(x)" 和函數y="a" 的圖像有兩個交點．根據函數單調性變化情況，可求得實數a的范圍．
(1) ,由得          (2分)

x		0		3
f’(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	極小值-1	↗	極大值	↘

 
由上表得, f(x)的單調增區間為,單調減區間為,;
當x=0時f(x)有極小值-1,當x=3時, f(x)有極大值．          (6分)
(2)由題知,只需要函數y=" f(x)" 和函數y="a" 的圖像有兩個交點．        (7分)
 ,所以
由(1)知f(x)在,當上單調遞減,上單調遞增,在在上單調遞減．     (10分)
∴當或 時, y=" f(x)" 和y="a" 的圖像有兩個交點．即方程f(x)=a在區間上有兩個根．                (12分)
考點：函數的單調區間和極值;函數圖像的交點與方程的根的對應關系．