【題目】已知函數f(x)=lnx.
(1)若a=4,求函數f(x)的單調區間;
(2)若函數f(x)在區間(0,1]內單調遞增,求實數a的取值范圍;
(3)若x1、x2∈R+,且x1≤x2,求證:(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析
【解析】
(1)將a=4代入f(x)求出f(x)的導函數,然后根據導函數的符號,得到函數的單調區間;
(2)根據條件將問題轉化為在
,
上恒成立問題,然后根據函數的單調性求出
的范圍;
(3)根據條件將問題轉化為成立問題,令
,即
成立,再利用函數的單調性證明即可.
解:(1)的定義域是
,
,
所以時,
,
由,解得
或
,
由,解得
,
故在
和
,
上單調遞增,在
,
上單調遞減.
(2)由(1)得,
若函數在區間
,
遞增,則有
在
,
上恒成立,
即在
,
上恒成立成立,所以只需
,
因為函數在
時取得最小值9,所以
,
所以a的取值范圍為.
(3)當時,不等式顯然成立,
當時,因為
,
,所以要原不等式成立,
只需成立即可,
令,則
,
由(2)可知函數在
,
遞增,所以
,
所以成立,
所以(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】(用數字作答)從5本不同的故事書和4本不同的數學書中選出4本,送給4位同學,每人1本,問:
(1)如果故事書和數學書各選2本,共有多少種不同的送法?
(2)如果故事書甲和數學書乙必須送出,共有多少種不同的送法?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】近年來,來自“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國的“新四大發明”:高鐵、掃碼支付、共享單車和網購.其中共享單車既響應綠色出行號召,節能減排,保護環境,又方便人們短距離出行,增強靈活性.某城市試投放3個品牌的共享單車分別為紅車、黃車、藍車,三種車的計費標準均為每15分鐘(不足15分鐘按15分鐘計)1元,按每日累計時長結算費用,例如某人某日共使用了24分鐘,系統計時為30分鐘.A同學統計了他1個月(按30天計)每天使用共享單車的時長如莖葉圖所示,不考慮每月自然因素和社會因素的影響,用頻率近似代替概率.設A同學每天消費元.
(1)求的分布列及數學期望;
(2)各品牌為推廣用戶使用,推出APP注冊會員的優惠活動:紅車月功能使用費8元,每天消費打5折;黃車月功能使用費20元,每天前15分鐘免費,之后消費打8折;藍車月功能使用費45元,每月使用22小時之內免費,超出部分按每15分鐘1元計費.設分別為紅車,黃車,藍車的月消費,寫出
與
的函數關系式,參考(1)的結果,A同學下個月選擇其中一個注冊會員,他選哪個費用最低?
(3)該城市計劃3個品牌的共享單車共3000輛正式投入使用,為節約居民開支,隨機調查了100名用戶一周的平均使用時長如下表:
時長 | (0,15] | (15,30] | (30,45] | (45,60] |
人數 | 16 | 45 | 34 | 5 |
在(2)的活動條件下,每個品牌各應該投放多少輛?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)= (a∈R).
(Ⅰ)求f(x)在區間[-1,2]上的最值;
(Ⅱ)若過點P(1,4)可作曲線y=f(x)的3條切線,求實數a的取值范圍。
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的《固體廢物污染環境防治法(修訂草案)》中,提出推行生活垃圾分類制度,這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中.為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關法規宣傳普及的關系,對某試點社區抽取戶居民進行調查,得到如下的
列聯表.
分類意識強 | 分類意識弱 | 合計 | |
試點后 | |||
試點前 | |||
合計 |
已知在抽取的戶居民中隨機抽取
戶,抽到分類意識強的概率為
.
(1)請將上面的列聯表補充完整;
(2)判斷是否有的把握認為居民分類意識的強弱與政府宣傳普及工作有關?說明你的理由;
參考公式:,其中
.
下面的臨界值表僅供參考
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數,其中
表示不超過
的最大整數,下列關于
說法正確的有:______.
①的值域為[-1,1]
②為奇函數
③為周期函數,且最小正周期T=4
④在[0,2)上為單調增函數
⑤與
的圖像有且僅有兩個公共點
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知為坐標原點,拋物線
,點
,設直線
與
交于不同的兩點
、
.
(1)若直線軸,求直線
的斜率的取值范圍;
(2)若直線不垂直于
軸,且
,證明:直線
過定點.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】小李根據以往多次考試狀態研究得到,今后三次考試數學考分以上的概率相同.現用隨機模擬的方法預測三次考試有兩次數學考
分以上的概率,規定投一次骰子出現
點和
點代表考
分以上;投三次骰子代表三次;產生的三個隨機數作為一組.得到的
組隨機數如下:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.則在此次隨機模擬試驗中,每次數學考
分以上的概率和三次中數學有兩次考
分以上的概率的近似值分別為( )
A.,
B.
,
C.
,
D.
,
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