Question

已知函數f(x)=loga(

x2+1

+bx)（a＞0且a≠1），給出如下判斷：
①函數f（x）為R上的偶函數的充要條件是b=0；
②若a=

1

2

，b=-1，則函數f（x）為R上的減函數；
③當a＞1時，函數為R上的增函數；
④若函數f（x）為R上的奇函數，且為R上的增函數，則必有0＜a＜1，b=-1或a＞1，b=1．
其中所有正確判斷的序號是

①④

．

Answer 1

分析：①由題意可得f（-x）=f（x）對若任意的x都成立，代入可求b
②當a=

1

2

，b=-1時，f（x）=log

1

2

(

1+x2

-x)，代入可得f（-x）=-f（x），則函數f（x）為奇函數，結合g（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2 +x

在（0，+∞），及y=log

1

2

g(x)在R上單調性，可判斷函數f（x）在（0，+∞）上單調性，然后由奇函數的性質判斷函數f（x）在R上單調性
③當a＞1時，函數y=log_at單調遞增，而t=

1+x2

+bx單調性不確定，
④若函數f（x）為R上的奇函數，則f（-x）=-f（x）對任意的x都成立，代入可求b，由函數f（x）為R上的增函數可求a的范圍

解答：解：①由函數f（x）為R上的偶函數可得f（-x）=f（x）對若任意的x都成立
∴loga(

1+(-x)2

-bx)=loga(

1+x2

+bx)即

1+x2

-bx=

1+x2

+bx對任意的x都成立
∴bx=0對任意的x都成立，則b=0，故①正確
②當a=

1

2

，b=-1時，f（x）=log

1

2

(

1+x2

-x)，則f（-x）=log

1

2

(

1+x2

+x)=log

1

2

1

1-x2 -x

=-f（x），則函數f（x）為奇函數，由于g（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2 +x

在（0，+∞）單調遞減，y=log

1

2

g(x)在R上單調遞減，由復合函數的單調性可知，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，由奇函數的性質可知，函數f（x）在R上單調遞增，故②錯誤
③當a＞1時，函數y=log_at單調遞增，而t=

1+x2

+bx單調性不確定，故③錯誤
④若函數f（x）為R上的奇函數，則f（-x）=-f（x）對任意的x都成立，
則loga (

1+x2

-bx)=-loga(

1+x2

+bx)
∴

1+x2

-bx=

1

1+x2 +bx

∴（1-b²）x²=0對任意的x都成立
∴b=1或b=-1
∵函數f（x）為R上的增函數
當b=-1時，

1+x2

-x在R上單調遞減，由復合函數的單調性可知，0＜a＜1
當b=1時，

1+x2

+x在R上單調遞增，由復合函數的單調性可知，a＞1
故④正確
故答案為：①④

點評：本題主要考查了對數的基本運算，函數的奇偶性的判斷及奇偶函數的單調性的性質的應用，復合函數的單調性的應用，綜合性較強，要求考生具備綜合應用函數的性質解題的能力