Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．
（1）猜想Sn的表達式，并用數學歸納法證明；
（2）設bn= ，n∈N* ， 求bn的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵S1=a1= ，2Sn=SnSn﹣1+1（n≥2），

∴2S2=S2S1+1= S2+1，

∴S2= ；

∴2S3=S3S2+1= S3+1，

∴S3= ；

由S1= ，S2= ，S3= ，可猜想Sn= ；

證明：①當n=1時，S1= ，等式成立；

②假設n=k時，Sk= ，

則n=k+1時，∵2Sk+1=Sk+1Sk+1= Sk+1+1，

∴（2﹣ ）Sk+1=1，

∴Sk+1= = ，

即n=k+1時，等式也成立；

綜合①②知，對任意n∈N*，均有Sn=

（2）解：由（1）可知，n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = ，

當n=1時，a1= = 滿足上式，

∴an= ，

∴bn= = = ，n∈N*，

設f（n）=x+ ，則有f（x）在（0， ）上為減函數，在（ ，+∞）為增函數，

∵n∈N*，且f（5）=f（6）=11，

∴當n=5或n=6時，bn有最大值

【解析】（1）由S1=a1= ，2Sn=SnSn﹣1+1（n≥2），通過計算可求得S1 ， S2 ， S3；可猜想Sn= ，再利用數學歸納法證明即可．（2）求出bn= ，n∈N*，構造函數f（n）=x+ ，則利用函數的單調性即可求出．
【考點精析】本題主要考查了歸納推理和數學歸納法的定義的相關知識點，需要掌握根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能正確解答此題．