Question

如圖以橢圓+=1(a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓，過橢圓右焦點F(c,0)(c＞b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A，連結OA交小圓于點B，設直線BF是小圓的切線.

(Ⅰ)證明：c²=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；

(Ⅱ)設直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明·=b².

Answer 1

(Ⅰ)證明：由題設條件知,Rt△OFA∽Rt△OBF,故,即=,因此c²=ab,

解：在Rt△OFA中，FA==b,于是直線OA的斜率k_OA=,則直線BF的方程為y=-(x-c),令x=0,則y==a,∴直線BF與y軸的交點為M(0,a).

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ),得直線BF的方程為y=kx+a                                                      ①

且k²==.                                                                                    ②

    由已知，設P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),則它們的坐標滿足方程組            ③

    由方程組③消去y，整理得(b²+a²k²)x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0,                        ④

    由式①、②和④

x₁·x₂=,

    由方程組③消去x,并整理得(b²+a²k²)y²-2ab²y+a²b²-a²b²k²=0.                 ⑤

    由式②和⑤，y₁·y₂=,

    綜上得,·=x₁x₂+y₁y₂=+,

    注意到a²-ab+b²=a²-c²+b²=2b²,得

·==(a²-ab)=b².