Question

【題目】在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ（ρ﹣2sinθ）＝1．

（1）求C的直角坐標方程；

（2）設直線l與y軸相交于P，與曲線C相交于A、B兩點，且|PA|+|PB|＝2，求點O到直線l的距離．

Answer 1

【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝2（2）

【解析】

（1）把曲線C的極坐標方程變形，結合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得C的直角坐標方程；

（2）直線l與y軸的交點為P（0，﹣1），曲線C是圓心為C（0，1），半徑為的圓，由CP＝2可得P（0，﹣1）在圓外，將直線l的參數方程代入x2+（y﹣1）2＝2，得到關于t的一元二次方程，利用根與系數的關系及參數t的幾何意義求解．

（1）∵曲線C的極坐標方程為ρ（ρ﹣2sinθ）＝1，

化簡得：ρ2﹣2ρcosθ﹣1＝0，

由ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

得C的直角坐標方程為x2+y2﹣2y﹣1＝0，即x2+（y﹣1）2＝2；

（2）直線l與y軸的交點為P（0，﹣1），曲線C是圓心為C（0，1），半徑為的圓，

∵CP＝2，∴P（0，﹣1）在圓外，

將直線l的參數方程代入x2+（y﹣1）2＝2，

得t2﹣4tsinα+2＝0．

∴t1+t2＝4sinα，又P（0，﹣1）在圓外，

∴t1，t2同號，

∴|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝|4sinα|＝2，

得|sinα|，可得直線l的斜率為．

設點O到直線l的距離為h，則h＝|OP|sin60°．

即點O到直線l的距離為．