Question

【題目】如圖，甲船從A處以每小時30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B處沿固定方向勻速航行，B在A北偏西105°方向用與B相距10 海里處．當甲船航行20分鐘到達C處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D處，此時兩船相距10海里．

（1）求乙船每小時航行多少海里？
（2）在C的北偏西30°方向且與C相距 海里處有一個暗礁E，周圍 海里范圍內為航行危險區域．問：甲、乙兩船按原航向和速度航行有無危險？若有危險，則從有危險開始，經過多少小時后能脫離危險？若無危險，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接AD，CD，由題意CD=10，AC= =10，∠ACD=60°

∴△ACD是等邊三角形，

∴AD=10，

∵∠DAB=45°

△ABD中，BD= =10，

∴v=10×3=30海里．

答：乙船每小時航行30海里．

（2）解：建立如圖所示的坐標系，危險區域在以E為圓心，r= 的圓內，直線BD的方程為y= x，∠DAB=∠DBA=45°

E的坐標為（ABcos15°﹣CEsin30°，ABsin15°+CEcos30°+AC），

求得A（5 +5，5 ﹣5），C（5 +5，5 +5），E（5+ ，9+5 ），

E到直線BD的距離d1= =1＜ ，故乙船有危險；

點E到直線AC的距離d2= ＞ ，故甲船沒有危險．

以E為圓心，半徑為 的圓截直線BD所得的弦長分別為l=2 =2，

乙船遭遇危險持續時間為t= = （小時），

答：甲船沒有危險，乙船有危險，且在遭遇危險持續時間 小時后能脫離危險．

【解析】（1）連接AD，CD，推斷出△ACD是等邊三角形，在△ABD中，利用余弦定理求得BD的值，進而求得乙船的速度．（2）建立如圖所示的坐標系，危險區域在以E為圓心，r= 的圓內，求出E到直線BD的距離，與半徑比較，即可得出結論．