Question

已知函數y=2sin（π-x）cosx+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式的第一項第一個因式利用誘導公式化簡，再利用二倍角的正弦函數公式化簡，進而由兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得出此時正弦函數的值域，即可確定出f（x）的值域，得到其最大值與最小值．

解答：解：（1）f（x）=2sin（π-x）cosx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴-1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

，
則f（x）的最大值為

2

，最小值為-1．

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，涉及的知識有：兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，正弦函數的定義域與值域，以及周期公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．