Question

【題目】已知橢圓C：（）的焦距等于短軸的長，橢圓的右頂點到左焦點的距離為．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知直線l：（）與橢圓C交于A、B兩點，在y軸上是否存在點，使得，且，若存在，求實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）由題意可得的關系,解方程組求得,即可得橢圓的標準方程.

（2）設,,聯立直線與橢圓方程,用韋達定理表示出,,利用弦長公式表示出.化簡后用表示出,再通過判別式判斷出的取值范圍. 設出中點的坐標,由點斜式表示出直線的方程,并令求得的表達式及取值范圍即可.

（1）依題意橢圓的焦距等于短軸的長,橢圓的右頂點到左焦點的距離為

可得,

解得,

所以所求橢圓方程為；

（2）設,,

由,

得,

,

∵,,

假設存在點滿足題意,

,

化簡整理得,

此時

恒成立,

所以且,

設中點,

則,,

由,則在線段AB的中垂線上.

因為,

直線的方程為,

令,則,

∴,

∵,

∴,

∴,

∴,

∴或,

綜上,存在滿足題意.