Question

【題目】已知Sn是正項數列{an}的前n項和，滿足a1＝2，anan+1＝6Sn﹣2，n∈N*．

（1）求證：{an}是等差數列；

（2）記bn＝2n，求數列{|an﹣bn|}的前n項和Tn．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）Tn．

【解析】

（1）由anan+1＝6Sn﹣2當n≥2時，有an﹣1an＝6Sn﹣1﹣2，兩式相減得an+1﹣an﹣1＝6，再由數列的前幾項推證出結果；

（2）由（Ⅰ）可得an＝3n﹣1，記cn＝bn﹣an，研究其單調性，判斷其符號，再求前n項和Tn．

解：（1）證明：∵a1＝2，anan+1＝6Sn﹣2①， ∴當n≥2時，有an﹣1an＝6Sn﹣1﹣2②，

由①﹣②整理得an+1﹣an﹣1＝6，

∴數列{an}的奇數項、偶數項均是公差為6的等差數列，

又由題設條件可得a1＝2，a2＝5，a3＝8，a4＝11，

所以an+1﹣an＝3，故數列{an}是首項為2，公差為3的等差數列；

（2）解：由（Ⅰ）可得an＝3n﹣1，又bn＝2n，記，

∴當n≥2時，cn單調遞增，且c1＝0，c2＝﹣1，c3＝0，從第4項起，cn＞0，

∴當n＝1時，有T1＝0；當n＝2時，有T2＝1；

當n≥3時，有Tn＝﹣c1﹣c2+c3+c4+…+cn＝1+（23+24+…+2n）+n﹣2﹣3（3+4+5+…+n）

＝n﹣13＝2n+1，

故Tn．