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【題目】已知函數.

(1)試判斷函數的單調性；

(2)設，求在上的最大值；

(3)試證明：對任意的，不等式成立.

【答案】（1）函數在上單調遞增,在上單調遞減（2）（3）見解析

【解析】

（1）先求導，再根據導數和函數的單調性的關系即可求出；（2）根據函數的單調性的關系，分類討論即可；（3）根據（1）知當時，，根據導數和函數的最值即可證明.

（1）函數的定義域是.由已知.

令,得.

因為當時,;

當時,.

所以函數在上單調遞增,在上單調遞減.

（2）由1問可知當,即時,在上單調遞增,

所以.

當時,在上單調遞減,所以.

當,即時,.

綜上所述,

（3）由（1）問知當時.

所以在時恒有,

即,當且僅當時等號成立.

因此對任意恒有.

因為,,所以,即.

因此對任意,不等式.

練習冊系列答案
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