Question

【題目】如圖1，已知等邊的邊長為3，點，分別是邊，上的點，且，.如圖2，將沿折起到的位置.

（1）求證：平面平面；

（2）給出三個條件：①；②二面角大小為；③到平面的距離為.在中任選一個，補充在下面問題的條件中，并作答：

在線段上是否存在一點，使三棱錐的體積為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

注：如果多個條件分別解答，按第一個解答給分。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）詳見解析.

【解析】

(1)由已知可推得,所以,,從而平面,進而有平面平面;

(2)若用條件①,結合(1)中,可推得平面,故可求出三棱錐的體積,所以存在點滿足題目條件,此時;若用條件②,結合(1)可知,故可求出三棱錐的體積為,所以存在點滿足題目條件,此時點與點重合,即;若用條件③,則可求出三棱錐的體積為,所以不存在滿足題目條件的點.

(1)由已知得等邊中,,,,由余弦定理得

∴,

∴,,

又∵,

∴平面,

∵平面,

∴平面平面;

(2)若用條件①,

由(1)得,又和是兩條相交直線,

∴平面,

又等邊的高為,

,

故三棱錐的體積為,

所以存在點滿足題目條件,此時.

若用條件②二面角大小為,

由(1)得是二面角的平面角,

∴,

所以,

又等邊的高為,

故三棱錐的體積為,

所以存在點滿足題目條件,此時點與點重合,故.

若用條件③到平面的距離為,

由題可知,等邊的高為,

則,

則三棱錐的體積為,

所以不存在滿足題目條件的點.