Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求證：；

（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）構造函數，對函數求導，從而得到函數的最大值，則不等式獲證；（2）先對函數求導，再對參數分類討論，分別求得函數在上的最大值，將不等式恒成立問題轉化為的最大值小于或等于0，即可得到實數的取值范圍.

解：（1）易知函數的定義域為.

設，

則，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以在處取得最大值，

所以，

所以.

（2）因為，所以.

①當時，在上單調遞減，

所以當時，，所以滿足題意.

②當時，令，則，

所以當時，，當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以在處取得最大值.

當，即時，在上單調遞增，

所以當時，，不符合題意.

當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以當時，.

設，則.

當時，，所以在上單調遞增，

所以當時，，不滿足題意.

當，即時，在上單調遞減，

所以當時，，所以滿足題意.

綜上所述，的取值范圍為.