Question

【題目】已知過橢圓的四個頂點與坐標軸垂直的四條直線圍成的矩形（是第一象限內的點）的面積為，且過橢圓的右焦點的傾斜角為的直線過點．

（1）求橢圓的標準方程

（2）若射線與橢圓的交點分別為．當它們的斜率之積為時，試問的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為定值．

【解析】

（1）根據矩形面積、直線斜率和橢圓關系可構造方程組求得，進而得到橢圓標準方程；

（2）當直線斜率存在時，設方程為，與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，利用弦長公式求得，點到直線公式求得點到直線距離，進而表示出；根據，代入韋達定理形式化簡可得，代入中化簡得到；當直線斜率不存在時，可求得兩點坐標，進而求得；綜合兩種情況可知為定值.

（1）由題意得：，，，.

直線的斜率，，

由得：，橢圓的標準方程為.

（2）的面積為定值，理由如下：

設，，

①當直線斜率存在時，設方程為.

由得：，

則，即，

，，

，

又點到直線的距離，

.

，，

化簡可得：，滿足，

；

②當直線斜率不存在時，

且，可設，，

則點的坐標分別為，，

此時；

綜上所述：的面積為定值.