Question

（本小題滿分14分）在數列中，是數列前項和，，當
（I）求證：數列是等差數列；
（II）設求數列的前項和；
（III）是否存在自然數，使得對任意自然數，都有成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）見解析（II）（III）存在，的最大值為，理由見解析

試題分析：（I）由已知得，當時，，
所以，又因為，
所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列.                                 ……4分
（II ）由（I）知，，
所以.                                                                
所以，                           ……6分
所以

.           ……8分
（III）令，顯然在上是增函數，
所以當時，取得最小值，
依題意可知，要使得對任意，都有，
只要，即，所以，
因為所以的最大值為.                                                  ……14分
點評：解決此類問題要抓住一個中心——函數，兩個密切聯系：一是數列和函數之間的密切聯系，數列的通項公式是數列問題的核心，函數的解析式是研究函數問題的基礎；二是方程、不等式與函數的聯系，利用它們之間的對應關系進行靈活處理.