Question

【題目】已知橢圓 與y軸交于B1、B2兩點，F1為橢圓C的左焦點，且△F1B1B2是腰長為 的等腰直角三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線x=my+1與橢圓C交于P、Q兩點，點P關于x軸的對稱點為P1（P1與Q不重合），則直線P1Q與x軸是否交于一個定點？若是，請寫出該定點坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓 與y軸交于B1、B2兩點，

F1為橢圓C的左焦點，且△F1B1B2是腰長為 的等腰直角三角形．可得b=c，a= ，則b=1，

橢圓C的方程：

（2）解：設P（x1，y1）Q（x2，y2）P1（x1，﹣y1）

由直線x=my+1與 聯立得，（m2+2）y2+2my﹣1=0

韋達定理得，

而直線PQ的方程為 ，令y=0，則 ，

所以直線PQ過定點（2，0）

【解析】（1）利用已知條件求出b=c，a= ，則b=1，推出橢圓C的方程．（2）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），P1（x1 ， ﹣y1）聯立x=my+1與 ，利用韋達定理得，轉化求解直線方程，即可推出結果．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．