【題目】已知函數
(
).
（1）討論函數
的單調性；
（2）求證： 
.
【答案】（1）答案見解析.（2）證明見解析
【解析】
（1）求導，對參數進行分類討論，根據導數正負，即可判斷函數單調性；
（2）構造函數
，利用導數判斷其單調性和最值，即可容易證明.
（1）定義域為
，
當
時，
，
所以函數
的單調遞增區間為
，遞減區間為
；
當
時，令
，得
或
，
當
時，
恒成立，
所以函數的單調遞增區間為，無減區間；
所以函數的單調遞增區間為
和，單調遞減區間為
；
當
時，
，
所以函數的單調遞增區間為
和
，單調遞減區間為
.
綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，遞減區間為；
當時，函數的單調遞增區間為，無減區間；
當
時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.
（2）設，
，
由（1）可知，當
時，
，
且的單調遞增區間為，遞減區間為，
所以
的單調遞增區間為，遞減區間為，
故
，所以
在上單調遞增
又
，
所以當
時，
，
時，
；
又當時，
，時，
所以
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的參數方程為
(t為參數)，曲線C1的方程為ρ(ρ－4sin θ)＝12，定點A(6，0)，點P是曲線C1上的動點，Q為AP的中點．
(1)求點Q的軌跡C2的直角坐標方程；
(2)直線l與直線C2交于A，B兩點，若|AB|≥2
，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義兩個函數的關系：函數
的定義域分別為
，若對任意的
，總存在
，使得
，我們就稱函數
為
的“子函數”．已知函數
，
，
．
（1）求函數
的單調區間；
（2）若為
的一個“子函數”，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年末，武漢出現新型冠狀病毒肺炎（
）疫情，并快速席卷我國其他地區，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為
（
）且相互獨立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為
，當
時，最大，則
（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的參數方程為
（
為參數），直線
經過點
且傾斜角為
.
（1）求曲線的極坐標方程和直線的參數方程；
（2）已知直線與曲線交于
，滿足
為
的中點，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“水資源與永恒發展”是2015年聯合國世界水資源日主題，近年來，某企業每年需要向自來水廠所繳納水費約4萬元，為了緩解供水壓力，決定安裝一個可使用4年的自動污水凈化設備，安裝這種凈水設備的成本費(單位：萬元)與管線、主體裝置的占地面積(單位：平方米)成正比，比例系數約為0.2.為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來水廠供水互補的用水模式．假設在此模式下，安裝后該企業每年向自來水廠繳納的水費C(單位：萬元)與安裝的這種凈水設備的占地面積x(單位：平方米)之間的函數關系是C(x)＝
(x≥0，k為常數)．記y為該企業安裝這種凈水設備的費用與該企業4年共將消耗的水費之和．
(1)試解釋C(0)的實際意義，并建立y關于x的函數關系式并化簡；
(2)當x為多少平方米時，y取得最小值，最小值是多少萬元？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，直線
：
與以原點為圓心，以橢圓
的短半軸長為半徑的圓相切.
為左頂點，過點
的直線交橢圓于
，兩點，直線
，
分別交直線
于
，
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）以線段
為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
為多面體，平面
與平面
垂直，點
在線段
上，
都是正三角形.
（1）證明：直線
∥面
；
（2）在線段
上是否存在一點
，使得二面角
的余弦值是
，若不存在請說明理由，若存在請求出點所在的位置。
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