Question

【題目】定義兩個函數的關系：函數的定義域分別為，若對任意的，總存在，使得，我們就稱函數為的“子函數”．已知函數，，．

（1）求函數的單調區間；

（2）若為的一個“子函數”，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為，（2）．

【解析】

（1）求導，令，可得的單調遞增區間；令，可得的單調遞減區間；

（2）根據的單調性求出的取值范圍，進而得到，即有實數解，從而得到，令，可得，令，則，，利用換元法和函數的單調性即可得出結果.

（1），函數的定義域為，

，

令，即，解得，

所以函數的單調遞增區間為；

令，即，解得，

所以函數的單調遞減區間為，

綜上，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）由（1）知，當時，函數取得極小值，即最小值，

所以，

當時，，

且為連續函數，只需，

即有實數解，

即，因為，

則，

令，

即在區間上有實數解，

將看成直線上的點，

令，則，，

令，則，

所以的最小值為.