Question

【題目】把1至n(n>1)這n個連續正整數按適當順序排成一個數列,使得數列中每相鄰兩項的和為平方數.則n的最小值為______.

Answer 1

【答案】15

【解析】

例如,排出的一個數列為8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9記這n個連續正整數的集合為M={1,2,…,n}.

由于n>1,則集合M中必有2,而2+7=9,于是,n≥7.

當n=7時,從1至7這七個數可以搭配成滿足條件的三個數段:

(1,3,6),(2,7),(4,5),

但它們不能連接成一個7項的數列,故應增加后續的數,增加8可使得第一段擴充成(8,1,3,6),增加9可使得第二段擴充成(2,7,9),但新的三段也不能連接,還需增加新數,即n≥10.

而之前的數若與8、9、10鄰接,只有8+1=9,9+7=16,10+6=16這三段擴充為

(8,1,3,6,10),(2,7,9),(4,5),仍舊不能連接,應當借助新的平方數25,從1

至10這十個數能搭配成和為25的最小數是15,則n≥15.

當M={1,2,…,15}時,可排出上面的情形8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9.