Question

【題目】已知，．

（1）當時，證明：；

（2）已知點，點，O為坐標原點，函數，請判斷：當時的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）在上零點個數為2．

【解析】

（1）不等式等價，設，計算其導函數的最值得到函數的單調區間，計算最值得到答案.

（2）計算得到函數表達式，求導，討論，，，四種情況，根據函數單調性分別計算零點得到答案.

（1）等價于證明．

令，則．

令，則，

由，得；由，得，

∴在遞減，在遞增，

∴，

∴在上恒成立．

∵在遞減，在遞增，∴，∴．

（2）點，點，，

∴．

①當時，可知，即，又，，

∴，在單調遞減．又∵，．

∴在上有一個零點．

②當時，設，則，函數單調遞增，

故，故，，

∴，∴恒成立，

∴在上無零點．

③當時，∵，

∴，∴在上單調遞增．

又∵，，

∴在上存在一個零點．

④當，∵，，∴恒成立，

∴在無零點．

綜上，在上零點個數為2．