Question

【題目】設函數，其中.

（1）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（2）求函數的極值點；

（3）當時，試證明對任意的正整數，不等式都成立.

Answer 1

【答案】（1）函數在定義域上單調遞增（2）答案不唯一，具體見解析（3）詳見解析

【解析】

（1）分析函數定義域，求導數，當時，恒成立，即可寫出函數單調區間（2）由（1）中，分，，，四種情況分類討論函數的單調性，寫出函數極值點（3）觀察不等式構造函數，利用導數可證在上單調遞增，可知恒成立，令即可證明.

（1）函數的定義域為①，

，

令，則，由，得，

即在上恒成立，所以.

即當時，函數在定義域上單調遞增.

（2）①由（1）知，當時，函數無極值點.

②當時，，

因為當時，，時，，

所以當時，函數在上無極值點.

③當時，解，得，.

當時，，，所以，，

且時，，時，

，此時在上有唯一的極小值點.

當時，，，

在，上都大于0，在上小于0，

此時有一個極大值點和一個極小值點.

綜上可知，當時，在上有唯一的極小值點；

當時，有一個極大值點和一個極小值點；

當時，函數在上無極值點.

（3）證明：當時，，

令，

則，

顯然在上恒為正，

所以在上單調遞增，即當時，恒有，

所以當時，有，

即，所以對任意正整數，取，可得恒成立.