Question

【題目】已知函數.

（1）若函數是偶函數，求實數的值；

（2）若函數，關于的方程有且只有一個實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據偶函數的定義建立方程關系即可求的值；

（2）根據題意方程有且只有一個實數根，等價于只有一個實數根，等價于有且只有一個實數根，令，則需關于的方程有且只有一個大于的實數根，結合二次函數的性質來分析。

解：（1）因為是偶函數，

所以對任意的成立，

所以對任意的成立，

所以對任意的成立，

所以.

（2）因為，，

所以，

所以

設，則有關于的方程.

若，即，則需關于的方程有且只有一個大于的實數根.

設，則，

所以，

所以成立，

所以，滿足題意；

若，即時，解得，不滿足題意；

若，即時，，且，

所以.

當時，關于的方程有且只有一個實數根，滿足題意.

綜上，所求實數的取值范圍是..