Question

【題目】已知函數

（1）判斷函數的奇偶性

（2）若，判斷函數在上的單調性并用定義證明

Answer 1

【答案】（1）偶函數（2）見解析

【解析】

（1）根據對數函數的性質，可得自變量的取值，再根據函數奇偶性的定義，判斷f(x)與f(-x)的關系，由此可得函數的奇偶性；

（2）由對數的運算性質易得g(x)，根據單調性的定義，在滿足定義域的某區間內選取任意兩個自變量的值x1、x2，通過判斷f(x1)與f(x2)的大小關系，即可得函數的單調性

（1）∵f(x)=lg(1+x)＋lg(1-x)，

∴1+x＞0且1x＞0，

∴-1＜x＜1，

∴x∈（-1，1）.

∵f(-x)=lg(1-x)＋lg(1+x)=f(x)，

∴函數f(x)為偶函數.

（2）g(x)在（0，1）上單調遞減.

證明如下：

∵f(x)=lg(1-x2)=lg g(x)，

∴g(x)=1-x2.

任取0＜x1＜x2＜1，

則g(x1)-g(x2)=1-x12-(1-x22)

=(x1+x2)(x2-x1).

∵0＜x1＜x2＜1，

∴x1+x2＞0，x2-x1＞0，

∴g(x1)-g(x2)＞0，

∴g(x)在（0，1）上單調遞減.