Question

【題目】如圖，在直棱柱中，是BC的中點,點E在棱上運動.

(1)證明 ；

(2)當時，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）根據直三棱柱的性質，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三線合一”證出AD⊥BC，結合線面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，從而可得AD⊥C1E；

（2）根據AC∥A1C1，得到∠EC1A1（或其補角）即為異面直線AC、C1E 所成的角．由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，證出A1C1⊥平面AA1B1B，從而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1＝60°，利用余弦的定義算出C1E＝2A1C1＝2，進而得到△A1B1E面積為，由此結合錐體體積公式即可算出三棱錐C1﹣A1B1E的體積．

（1）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥BB1

∵△ABC中，AB＝AC，D為BC中點，∴AD⊥BC

又∵BC、BB1平面BB1C1C，BC∩BB1＝B

∴AD⊥平面BB1C1C，結合C1E平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；

（2）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，

∴∠EC1A1（或其補角）即為異面直線AC、C1E 所成的角

∵∠BAC＝∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1，

又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，

∴結合A1B1∩AA1＝A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，

∵A1E平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E

因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1＝60°，可得cos∠EC1A1，得C1E＝2A1C1＝2

又∵B1C12，∴B1E2

由此可得S△A1C1.