Question

【題目】已知函數

（1）求函數的單調區間；

（2）若，證明：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見證明

【解析】

（1）先求得函數的定義域，然后利用函數的導數研究的單調區間.（2）將原不等式等價變形為，根據（1）中求得的單調性，只需證當時，，構造函數，利用導數證得，也即時，成立，由此證得原不等式成立.

解：（1）函數的定義域為，求導得，令，

令g’(x)＞0，解得-1＜x＜0，令g’(x)＜0解得x＞0，

所以單調增區間為減區間為。

g(x)＜g(0)=0，即f’(x)＜0在定義域上恒成立，

所以的單調減區間為 ；

（2）證明：將不等式變形為，因為，即不等式等價于，由（1）有所以在上單調遞減，所以要證原不等式成立，需證當x＞0時，x＜ex-1，令，則，可知h’(x)＞0在恒成立，即h(x)在上單調遞增，故h(x)>h(0)=0，即x＜ex-1，故f(x)＞f(ex-1)，即，即.