Question

【題目】若二次函數f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）＝4x+6，且f（0）＝3．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）設g（x）＝f（x）+（a﹣2）x2+（2a+2）x，g（x）在[﹣2，+∞）單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）＝2x2+4x+3；（Ⅱ）[0，3]

【解析】

（I）采用待定系數法即可求解；

（II）先將表達式化簡，得，再對參數進行分類討論，分為一次函數和二次函數兩種情況求解，當函數為二次函數時，結合開口和對稱軸的關系判斷即可

（I）設f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），∵f（x+1）﹣f（x）＝4x+6，且f（0）＝3，

∴a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝4x+6，且c＝3，整理可得，2ax+a+b＝4x+6，

∴2a＝4，a+b＝6，c＝3，∴a＝2，b＝4，c＝3，∴f（x）＝2x2+4x+3；

（II）由（Ⅰ）可知，g（x）＝f（x）+（a﹣2）x2+（2a+2）x＝ax2+（2a+6）x+3，

當a＝0時，g（x）＝6x+3在[﹣2，+∞）單調遞增，符合題意，

當a≠0時，對稱軸x，由g（x）在[﹣2，+∞）單調遞增可得，，解可得，0＜a≤3，

綜上可得，a的范圍[0，3]．